光譜學(xué)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)概論

   日期：2019-08-15

當(dāng)我們進(jìn)行光譜測量時(shí)，我們期望獲得準(zhǔn)確和精確的結(jié)果。然而，準(zhǔn)確度和精確度取決于許多因素，并且在現(xiàn)實(shí)世界中，每次測量將包括誤差范圍。事實(shí)上，我們從光譜測量得到的結(jié)果并不完整，除非我們將誤差納入其中，即平均值20％的成分的誤差范圍為+/-0.2％。

 

誤差范圍是由于測量系統(tǒng)中的隨機(jī)變量所致，并遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)則。學(xué)習(xí)這些規(guī)則以及如何應(yīng)用規(guī)則是我們估算光譜測量誤差范圍的第一步。

 

隨機(jī)變量是如何分布的

群體中單個(gè)變量的值范圍落在所謂的正態(tài)分布或鐘形曲線范圍內(nèi)。

以身高為例，假設(shè)我們測量所有女性的身高，然后繪制圖表，以y軸表示身高，x軸表示該身高對(duì)應(yīng)的女性人數(shù)。該圖表將具有上述正態(tài)分布曲線的形狀，具有平均身高的大多數(shù)人位于中央部分，非常高和非常矮的女性數(shù)量則向兩側(cè)遞減。

 

什么是標(biāo)準(zhǔn)偏差？

如果我們看一下正態(tài)分布曲線，我們可以看到形狀越寬，存在的值越遠(yuǎn)離平均值。曲線越窄意味著值越平均值。用σ表示的標(biāo)準(zhǔn)偏差提供了一個(gè)數(shù)值，用以說明結(jié)果的分布情況。

 

對(duì)于正態(tài)分布，情況始終如此：

 

68.25％的結(jié)果落在離平均值一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差（1σ）范圍內(nèi)

95.45％的結(jié)果落在離平均值兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差（2σ）的范圍內(nèi)

99.73％的結(jié)果落在離平均值三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差（3σ）的范圍內(nèi)

 

對(duì)于光譜測量，標(biāo)準(zhǔn)偏差值越小，正態(tài)分布曲線越窄，測量越精確。標(biāo)準(zhǔn)偏差（σ）可通過以下公式計(jì)算：

 

其中：

μ：群體平均值

xi：個(gè)體測量值

N：進(jìn)行的測量次數(shù)

 

現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)世界中，我們通常不會(huì)測量全部群體。相反，我們會(huì)測量一個(gè)群體樣本。

 

在我們的光譜學(xué)領(lǐng)域中，我們通常不會(huì)通過測量足夠大的樣本量來精確計(jì)算全部群體的σ。相反，我們會(huì)測量一個(gè)群體樣本。幸運(yùn)的是，在這種情況下，我們可以使用略微修改的表達(dá)式來估算樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。我們使用符號(hào)s來表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

s的表達(dá)式如下：

其中：

x?：測量的平均值

 

x i：個(gè)體測量值

N：進(jìn)行的測量次數(shù)

 

我們可以使用此樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差（s）來估算光譜測量中的誤差范圍。如果我們想要獲得準(zhǔn)確率為95％的結(jié)果——并且記住，對(duì)于正態(tài)分布，95.45％的結(jié)果落在離平均值兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的范圍內(nèi)——我們終會(huì)得到：

 

濃度= <讀數(shù)的平均值>％+/- 2 x s％

 

例如：若在置信度為95％的情況下確定我們的濃度為20％+/- 0.2，則s必須等于0.1。

 

然而，對(duì)于光譜學(xué)，這還不夠準(zhǔn)確，我們還需要考慮額外的變量。我們將在下一篇博客中介紹這些內(nèi)容。